A FUNÇÃO DO 2º GRAU

A função do 2º grau é de grande importância no estudo do Movimento Uniformemente variado para movimentos no plano e movimentos descritos no lançamento de projétil e queda de corpos.
É toda função do tipo y = ax^2 + bx + c, onde a é diferente de zero e a, b e c são números reais.
Exemplos de movimentos que utilizam esta função:
a) Goleiro ao bater o tiro de meta;
b) O jogador de vôlei ao executar o saque por baixo;
c) Um jogador de basquete ao arremessar a bola ao cesto.
d) Um aluno na sala de aula ao jogar a borracha para um colega distante;
e) O sketista ao andar na pista de skate;
f) Cobrança de falta no futebol;
g) Arremesso de peso numa competição, etc.

Sendo assim, vai-se fazer um estudo sobre a função descrita por y = ax^2 + bx + c

PONTOS NOTÁVEIS DA FUNÇÃO


A) Concavidade da parábola, dado pelo
valor de a.

Se a > 0 ==> concavidade é voltada para cima
Se a < 0 ="="> concavidade é voltada para baixo


B) Onde fura a vertical, dado pelo valor de c, na fórmula.


É obtido fazendo – se x = 0 e y = c logo C ( x=0 , y = c)

Exemplo: Dada a função definida por y = x^2 - 5x - 4
O valor y = - 4, representa onde a curva fura o eixo vertical.


C) Zeros ou raízes da função, (onde a curva fura o eixo horizontal)

Corresponde aos valores de x em que a curva fura o eixo horizontal. É calculado pela fórmula de Baskara.

Delta = b2 - 4*a*c


X1 = (-b - raiz ( Delta ) / 2*a

X1 = (-b + raiz ( Delta ) / 2*a



C-1) Análise do Delta 

Para se saber o número de raízes, basta analisar o  Valor de DELTA:

i) Se Delta > 0 existe x1 diferente de x2

ii) Se Delta = 0 existe x1 igual a x2

iii) Se Delta <> 0 não existe x1 e x2 logo não corta o eixo Ox.

D) Vértice da parábola ( V = (xv , yv ) )

Indica o valor máximo ou mínimo da curva.


Exemplos:

a) máxima transferência de potência elétrica;
b) Lucro máximo ou lucro mínimo de uma   empresa;
c) Altura máxima atingida por um objeto lançado para cima com um certo ângulo, etc.

Coordenada de x: xV = - b / 2*a

Coordenada de y: yV = - D / 4*a

Vértice V = (xv , yv )  = ( - b/2*a  ,  - delta / 4/a )

FORMA CANÔNICA

É muito utilizada no estudo de limites no Cálculo I, e dela obtém-se as coordenadas do vértice, além do que facilita a construção e análise gráfica da parábola.

Dada y = ax^2  +  bx  +  c , colocando a  em  evidência  obtém-se a expressão:

y = a * (x + b/a *x)  +  c .

Completando o quadrado perfeito chega-se a:

y = a* (x + b/a * x  +  (b/2a)^2  - (b/2a)^2)  + c  = 

y = a * (x – (-b/2a) )^2  - (b^2 – 4ac) / 4a  =

y = f(x)  =  a * (x  -  xv)^2  + yv (  forma canônica da função).

QUADRO RESUMO