segunda-feira, 7 de junho de 2010

Aplicação da Proporcionalidade na Dilatação Linear

A aplicação de segmentos proporcionais e do Teorema de Tales no estudo da dilatação linear é de fundamental importância para o estudo da mesma.
Prova-se em laboratório que para pequenas variações de temperatura, na variação do comprimento de uma barra tem-se que:
a) A variação de comprimento ( delta L ) da barra é diretamente proporcional ao comprimento inicial da barra ( Lo )
b) A variação de comprimento ( delta L ) da barra é diretamente proporcional à variação de temperatura (delta t)
c) A variação de comprimento (delta L) da barra depende também do material de que é feito (que vamos chamar de α).
d) Como delta L é diretamente proporcional a delta t e Lo tem-se que: delta l / Lo* deltat = constante de proporcionalidade (K).
e) Esta constante vai ser o coeficiente de dilatação linear do material (K = α).
Então se pode escrever que delta L = Lo* α*delta t, onde
1) Seja uma barra de comprimento Lo a uma temperatura to
2) Aquece-se esta barra até um comprimento final L e uma temperatura t.
3) Logo vai existir
Delta L = L – Lo
Delta t = t – t0

Gráficos da dilatação linear

1) Da relação delta L = Lo* α*delta t, substituindo delta L por (L – Lo) chega-se à expressão: L - Lo= Lo* α*delta t (que na Geometria analítica vista no terceiro ano representa a equação da reta que passa por um ponto A (x , y) e coeficiente angular conhecido; no caso Lo* α )


2) Se fizermos to = 0 ºC, vai-se obter a seguinte expressão:
delta L = Lo* α*t, onde o gráfico delta l = f(t) representa uma função linear que passa pela origem O( 0 , 0).

ATENÇÃO:

Para um mesmo Lo irá sofrer maior dilatação linear a reta que possuir maior inclinação em relação ao eixo horizontal. (ou seja maior valor de α ).
A seguir vai-se construir gráficos a partir de um problema proposto, conforme figura abaixo.
PROBLEMA: Um experimento sobre dilatação linear apresentou as seguintes conclusões:
1) Situação inicial: barra de comprimento L = 10 m a temperatura de 30 ºC e coeficiente de dilatação α.
2) Aquece-se até uma temperatura de 35C
3) Situação final: obtem-se um comprimento L1 = 10,5 m e temperatura t1 = 35 ºC
4) O objetivo é: a) calcular a relação entre L e t a partir do gráfico de L = f(t); b) o valor de Lo; c) o valor do coeficiente angular.

Sendo assim, pode-se construir um gráfico L = f (t), utilizando 3 pontos básicos: A( to , Lo ), B( t1 , L 1) e P (t , L) pertencente à reta que descreve o fenômeno.
B( t1 , L1 )
P ( t , L )
A( to , Lo )
Logo tem-se que:
Delta L / delta t = delta L1 / delta t1
( L1 - Lo ) / ( t1 - to) = ( L - Lo ) / ( t - to )
A figura a seguir mostra um exemplo em que
5) Situação inicial: barra de comprimento L = 10 m a temperatura de 30 ºC
6) Aquece-se até uma temperatura de 35C e obtem-se um comprimento L1 = 10,5 m.
7) O objetivo é calcular a relação entre L e t a partir do gráfico de L = f(t).
A figura abaixo mostra a solução do problema.

SOLUÇÃO NO EXCEL

Gráfico 1: L = f(t), representa uma função do 1º grau.
Solução do problema por proporcionalidade.










Gráfico 2: delta L = f(t) = gráfico de função linear,


O gráfico delta L = f(t) representa uma função linear, pois passa pela origem O( 0 , 0 ) e possui coeficxiente angular igual a α*Lo.

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